佛羅倫薩主教堂

　　文藝復(fù)興人阿爾貝蒂

　　馬格里特《單人房間》

　　丟勒《憂(yōu)郁》（1514）

　　16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1

　　　布魯內(nèi)萊斯基的探索

　　文藝復(fù)興時(shí)期德國(guó)最重要的畫(huà)家丟勒（Albrecht Dürer，1471—1528）的木刻《為躺著的婦人作畫(huà)》，告訴我們畫(huà)家是如何作畫(huà)的。右邊是畫(huà)家本人，左邊是他的模特。畫(huà)家在中間放置了一塊玻璃屏板，上面描好方格子，同時(shí)他的畫(huà)布上也用鉛筆描好方格子。模特透過(guò)玻璃屏板，會(huì)有一個(gè)輪廓呈現(xiàn)。例如，鼻子在點(diǎn)A上，膝蓋在點(diǎn)B上，而肚臍又在點(diǎn)C上。畫(huà)家只需依樣畫(huà)葫蘆，便又輕松又準(zhǔn)確地把人物描繪到平面上。

　　這就是透視原理（perspective principal），但它不是丟勒的首創(chuàng)和發(fā)現(xiàn)。丟勒出生于紐倫堡，小時(shí)候在作坊里學(xué)習(xí)繪畫(huà)，后來(lái)又拜名師學(xué)藝。從18歲開(kāi)始，丟勒到處旅行，先是去尼德蘭和瑞士，后來(lái)兩次長(zhǎng)期旅居意大利，既豐富了生活閱歷，又學(xué)到了包括意大利畫(huà)家的透視原理在內(nèi)的繪畫(huà)技巧。事實(shí)上，早在丟勒出生前半個(gè)多世紀(jì)，意大利就有一位藝術(shù)家致力于透視法的探索和實(shí)踐。

　　大約在1413年，布魯內(nèi)萊斯基（Filippo Bruneleschi，1377—1446）展示了后來(lái)的藝術(shù)家廣泛使用的透視技法的幾何原理。布魯內(nèi)萊斯基出生在佛羅倫薩，他的父親是公證人，小時(shí)候他接受父母的安排，學(xué)習(xí)文學(xué)和數(shù)學(xué)，希冀子承父業(yè)，做一名公仆。后來(lái)他依照自己的意愿改行學(xué)做金匠和雕刻師，然而由于某種原因，在一次有把握獲勝的雕刻競(jìng)賽中他沒(méi)有成功，一氣之下又改行從事建筑設(shè)計(jì)，那時(shí)候文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)已經(jīng)開(kāi)始了。

　　布魯內(nèi)萊斯基最重要的作品是佛羅倫薩主教堂（1420—1436），迄今它仍是包括作者在內(nèi)的各國(guó)游客的必到之地，也使得他成為文藝復(fù)興時(shí)期意大利最重要的建筑師。正是在他建筑生涯的初期，布魯內(nèi)萊斯基重新發(fā)現(xiàn)了原本為希臘人所知曉后來(lái)卻在歐洲中世紀(jì)失傳的透視原理。據(jù)說(shuō)他用兩塊描繪佛羅倫薩街道和建筑的油畫(huà)證明了他的發(fā)現(xiàn)，可惜這兩塊畫(huà)板現(xiàn)已遺失。

　　從布魯內(nèi)萊斯基用來(lái)舉證的兩塊畫(huà)板上的油畫(huà)是街道和建筑這件事來(lái)看，他所重新發(fā)現(xiàn)的透視原理很可能是沒(méi)影點(diǎn)。所謂沒(méi)影點(diǎn)（vanishing point），是指三維空間里兩條平行的直線其延長(zhǎng)線在視覺(jué)印象里相交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。舉例來(lái)說(shuō)，鐵道線的兩條鐵軌向無(wú)限方向延伸時(shí)，在無(wú)窮遠(yuǎn)處是相交的。這一現(xiàn)象并不是孤立的，又如茶杯的杯沿通常是圓形的，但看起來(lái)卻像是橢圓，無(wú)論我們站在近旁還是遠(yuǎn)處。

　　可以說(shuō)布魯內(nèi)萊斯基創(chuàng)立了科學(xué)繪畫(huà)，他的學(xué)生和后輩中，烏切洛（Ucelo，1397—1475）、德拉·弗 朗 切 斯 卡（dela Francesca，1416—1492）、馬薩喬（Masacio，1401—1428）都對(duì)透視學(xué)作出了重要貢獻(xiàn)。馬薩喬是第一個(gè)運(yùn)用老師引入的透視法的畫(huà)家，他的《納稅錢(qián)》比任何早期作品都更具有寫(xiě)實(shí)主義氣息，同時(shí)表現(xiàn)出了距離感。16世紀(jì)的藝術(shù)史家瓦薩里（GiorgioVa-sari，1511—1574） 認(rèn)為，馬薩喬是第一個(gè)達(dá)到完全真實(shí)地描繪事物的藝術(shù)家。

　　從流傳下來(lái)的作品來(lái)看，烏切洛并非最杰出的藝術(shù)家，他表現(xiàn)透視學(xué)方面的佳作隨著時(shí)間的流逝被嚴(yán)重毀壞，已經(jīng)無(wú)法復(fù)原了，不過(guò)仍然顯示出景物的表面、線條和曲線的復(fù)雜性。他生前潛心于透視學(xué)這門(mén)“十分可愛(ài)的學(xué)問(wèn)”之中，常常在妻子的催促下才上床睡覺(jué)。瓦薩里記載，“為了研究透視學(xué)中的沒(méi)影點(diǎn)，他曾經(jīng)通宵達(dá)旦”。

　　德拉·弗朗切斯卡使得透視學(xué)變得成熟，他對(duì)幾何學(xué)抱有極大的熱情，每個(gè)位置都事先安排得非常精確，以保持與其他圖形的比例關(guān)系，同時(shí)使作品的整個(gè)部分一體化。他喜歡彎曲光滑的曲面和完整性，甚至對(duì)人物身體的每個(gè)部位及其服飾都運(yùn)用了幾何形式。他的作品《耶穌復(fù)活》和《鞭笞》是透視學(xué)的兩幅佳作，同時(shí)也是藝術(shù)史上的珍品。

　　假如你有機(jī)會(huì)欣賞到古典油畫(huà)，畫(huà)中有家具或天花板的話，那一定是有平行線的。你將會(huì)發(fā)現(xiàn)，把每組相互平行的線各自朝一個(gè)方向延長(zhǎng)，都會(huì)相交于同一點(diǎn)，那也正是vanish這個(gè)動(dòng)詞的原意，即“消失”。

　　　阿爾貝蒂的無(wú)解之問(wèn)

　　在布魯內(nèi)萊斯基27歲那年，另一位杰出的意大利建筑師阿爾貝蒂（Leone Alberti，1404—1472）出生于熱那亞，比同城出生的航海家克里斯托弗·哥倫布早了將近半個(gè)世紀(jì)。阿爾貝蒂是佛羅倫薩一位銀行家的私生子，自小他就跟著父親學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，后曾在帕多瓦念書(shū)，再到博洛尼亞大學(xué)深造，獲得法學(xué)博士學(xué)位。之后，他隨一位紅衣主教游歷了法國(guó)、比利時(shí)和德國(guó)，1432年定居羅馬，擔(dān)任教皇的秘書(shū)。

　　阿爾貝蒂多才多藝，他曾用拉丁文創(chuàng)作喜劇，在他的文藝著作《論繪畫(huà)》中，首次引入了投影線和截景等概念，闡明了從三維物體到平面畫(huà)布的透視原理。阿爾貝蒂也是文藝復(fù)興時(shí)期最偉大的建筑理論家，著有十卷本的《論建筑》，此書(shū)用拉丁文寫(xiě)成，他認(rèn)為建筑必須實(shí)用、經(jīng)濟(jì)、美觀，尤以前兩者為先決條件。在阿爾貝蒂看來(lái)，建筑物的美是客觀存在的，美就是和諧和完整。

　　阿爾貝蒂還從人文主義出發(fā)，用人體的比例來(lái)解釋古典柱式。他像哲學(xué)家一樣提出他的思考：“一個(gè)人只要想做，他就能做成任何事情。”“我希望畫(huà)家通曉全部自由藝術(shù)。但我首先希望他們精通幾何學(xué)。”“借助數(shù)學(xué)的工具幫助，自然界將顯得更為迷人。”不過(guò)，《論建筑》要等到阿爾貝蒂身后13年才得以出版。五個(gè)多世紀(jì)過(guò)去了，他留下的建筑仍有佛羅倫薩的魯奇拉府邸、新瑪利亞教堂，里米尼的圣弗朗西斯科教堂，曼圖亞的圣安德烈亞教堂等，其風(fēng)格雄偉有力。

　　說(shuō)一說(shuō)阿爾貝蒂的建筑風(fēng)格。在他之前，布魯內(nèi)萊斯基繼承了古希臘的遺風(fēng)，通過(guò)柱子或半柱奠定了古典建筑的風(fēng)范，尤以佛羅倫薩主教堂和帕齊小教堂為代表。按照20世紀(jì)英國(guó)藝術(shù)史家貢布里希爵士的說(shuō)法，阿爾貝蒂創(chuàng)造了一種個(gè)人私宅的建筑風(fēng)格，其影響一直延續(xù)至今。他選擇了扁平的壁柱和檐部，像網(wǎng)絡(luò)一樣覆蓋在建筑的立面。這樣一來(lái)，在保留古典柱式的同時(shí)，又不改變建筑的結(jié)構(gòu)，從而賦予城市邸宅以現(xiàn)代的形式。

　　說(shuō)到《論建筑》，公元前1世紀(jì)的羅馬建筑師馬可·維特魯威（Marcus Vitruvius）也寫(xiě)過(guò)十卷本的《建筑學(xué)》，書(shū)中記載了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德測(cè)定希羅王金王冠真假的故事。阿基米德在洗澡時(shí)發(fā)現(xiàn)浮力定律，同時(shí)也揭示了王冠的真假之謎。1487年前后，達(dá)·芬奇也曾畫(huà)過(guò)一幅著名的素描《維特魯威人》，那是素描的教科書(shū)中不可或缺的。畫(huà)家依據(jù)《建筑學(xué)》中的描述，努力繪出最完美比例的男子人體。

　　阿爾貝蒂曾宣稱(chēng)，一幅畫(huà)就是投射線的一個(gè)截景。他畫(huà)過(guò)這樣一幅素描，右邊是（畫(huà)家的）眼睛，左邊是要畫(huà)一個(gè)景物，猶如杭州西湖三潭印月的三座石塔（相傳是北宋大詩(shī)人蘇東坡疏浚西湖時(shí)的創(chuàng)意，現(xiàn)有的石塔系明代重建）。畫(huà)家在他和景物之間放置了一塊畫(huà)好方格子的玻璃屏板，然后模仿景物在玻璃屏板上的投影或輪廓，在同樣畫(huà)有方格子的畫(huà)布上描繪下來(lái)。

　　很明顯，這種利用截景的透視方法在阿爾貝蒂時(shí)代已經(jīng)很流行了。難得的是，阿爾貝蒂?gòu)闹刑岢隽诉@樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，假如把玻璃屏板平行移動(dòng)，那么得到的截景或輪廓與原先的十分相似，他問(wèn)：兩者之間的數(shù)學(xué)關(guān)系是什么？這個(gè)問(wèn)題比起歐幾里得幾何學(xué)中相似三角形的關(guān)系來(lái)，可是要復(fù)雜和困難許多，難怪那個(gè)時(shí)代全歐洲的藝術(shù)家和數(shù)學(xué)家都回答不出來(lái)。

　　　　藝術(shù)史成為藝術(shù)家的歷史

　　文藝復(fù)興時(shí)期的畫(huà)家們之所以對(duì)數(shù)學(xué)有如此廣泛的興趣，原因應(yīng)該是多方面的。首先，繪畫(huà)的問(wèn)題是把三維空間的人物或客觀事物表現(xiàn)在二維的平面上，無(wú)論如何這都與幾何學(xué)有關(guān)。藝術(shù)家要?jiǎng)?chuàng)作逼真的作品，除了顏色、形態(tài)和意圖，他或她面對(duì)的對(duì)象本身是有一定空間的幾何形體。具體來(lái)說(shuō)，畫(huà)家要考慮理想的比例，描繪它們位于空間中的位置的相互關(guān)系，這就需要用到歐氏幾何。

　　其次，文藝復(fù)興時(shí)期的畫(huà)家們都受到了希臘哲學(xué)的影響，他們熟悉并滿(mǎn)腦子充斥了這樣的信念：萬(wàn)物皆數(shù)。數(shù)學(xué)是真實(shí)的現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)，宇宙是有秩序的，并能按照幾何方式明確地理性化，終極真理的表達(dá)方式就是數(shù)學(xué)的形式。因此，藝術(shù)家像希臘哲學(xué)家一樣，認(rèn)為要透過(guò)現(xiàn)象認(rèn)識(shí)本質(zhì)，需要在畫(huà)布上真實(shí)地展示題材的現(xiàn)實(shí)性，他們最后面臨和解決的問(wèn)題必定歸結(jié)為一定的數(shù)學(xué)內(nèi)容。

　　再次，中世紀(jì)晚期和文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家，往往也是那個(gè)時(shí)代的建筑師和工程師，因此必然需要和愛(ài)好數(shù)學(xué)。那時(shí)候的商人、王侯和教會(huì)紛紛把建筑問(wèn)題交給藝術(shù)家，讓他們?cè)O(shè)計(jì)建造教堂、修道院、皇宮、醫(yī)院、橋梁、水閘、堡壘、運(yùn)河、城墻、戰(zhàn)爭(zhēng)器械，等等。在達(dá)·芬奇的筆記本里，可以找到大量的諸如此類(lèi)的設(shè)計(jì)圖紙。因此，文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家既是博學(xué)的純粹數(shù)學(xué)家，也是優(yōu)秀的應(yīng)用數(shù)學(xué)家。

　　值得一提的是，“文藝復(fù)興”的意大利文Ri-nascimento是由ri（重新）和nascere（出生）構(gòu)成的，意為

　　“再生”“復(fù)活”。經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的中世紀(jì)黑暗時(shí)代之后，意大利各個(gè)城邦崛起，市民和世俗知識(shí)分子（非經(jīng)院哲學(xué)的教士）越來(lái)越厭惡天主教的神權(quán)和禁欲主義，可是由于本身沒(méi)有成熟的文化體系可以抗衡，于是借助復(fù)興古希臘和古羅馬的文化形式來(lái)表達(dá)自己的訴求。它不僅僅是古典的復(fù)興，還是資產(chǎn)階級(jí)的新文化運(yùn)動(dòng)。在這場(chǎng)主要由藝術(shù)來(lái)呈現(xiàn)的復(fù)興運(yùn)動(dòng)中，數(shù)學(xué)起到了非常重要的作用，以至于克萊因稱(chēng)文藝復(fù)興是“數(shù)學(xué)精神的復(fù)興”。

　　然而，終要有特殊的數(shù)學(xué)問(wèn)題作為中介，讓那些有天賦的藝術(shù)家們進(jìn)行探討和研究，發(fā)揮他們的才智。這個(gè)問(wèn)題非透視莫屬，即如何在二維的畫(huà)布上展現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界中的三維景物？為此，經(jīng)過(guò)幾代藝術(shù)家的共同努力，他們創(chuàng)建了一整套全新的數(shù)學(xué)透視理論體系，從而建立起一種嶄新的繪畫(huà)風(fēng)格，并把古典繪畫(huà)帶到一個(gè)新的難以企及的高度。

　　　在西方繪畫(huà)史上，各種透視體

　　系大致可以分成兩大類(lèi)，即概念體系和光學(xué)體系。光學(xué)體系即前文闡釋的透視原理和沒(méi)影點(diǎn)理論，而概念體系是指按照某種觀念或法則去描繪人物或物體，與實(shí)際的景物本身幾乎沒(méi)有什么關(guān)系。例如，古埃及的繪畫(huà)，人物的大小經(jīng)常依據(jù)他們?cè)谡位蜃诮屉A層中的地位而定。在這些作品中，法老的尺寸是最大的，其次是他的妻子，大臣就更小了，但仍比仆人要大。

　　在東方，例如中國(guó)畫(huà)和日本畫(huà)，也基本上是遵從概念體系進(jìn)行創(chuàng)作的，也即沒(méi)有引入透視的原理或數(shù)學(xué)的方法。而在現(xiàn)代繪畫(huà)作品中，概念體系也經(jīng)常出現(xiàn)，有的甚至成為表達(dá)的方式。超現(xiàn)實(shí)主義畫(huà)家馬格里特認(rèn)為：一個(gè)事物恰恰是為它經(jīng)常出現(xiàn)的樣子所遮蔽。他采取的方法之一是：改變對(duì)象的尺度、位置或質(zhì)地，創(chuàng)造出一種不協(xié)調(diào)。

　　雖說(shuō)古希臘和古羅馬的繪畫(huà)主要遵從光學(xué)體系。但是，天主教的神秘主義卻使得藝術(shù)家又回到了概念透視體系，因?yàn)樗麄儩M(mǎn)足于描繪象征性的內(nèi)容。換句話說(shuō)，他們的繪畫(huà)主題和背景傾向于表現(xiàn)宗教題材。因此，繪畫(huà)表現(xiàn)的是宗教情感，而不是現(xiàn)實(shí)生活中的人和世界。這種風(fēng)格在中世紀(jì)十分流行，持續(xù)了1000多年。特點(diǎn)是畫(huà)面呆板生硬、毫無(wú)生氣，背景通常總是金黃色的，為了強(qiáng)調(diào)宗教主題而與現(xiàn)實(shí)世界沒(méi)有關(guān)聯(lián)，更談不上有任何空間關(guān)系。

　　文藝復(fù)興的典型特點(diǎn)是，藝術(shù)家們朝向?qū)憣?shí)主義方向前進(jìn)，在這個(gè)過(guò)程中數(shù)學(xué)開(kāi)始進(jìn)入藝術(shù)領(lǐng)域，引入了第三維，這只能通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)的表達(dá)才能實(shí)現(xiàn)。從此以后，藝術(shù)家們就可以在繪畫(huà)中處理空間、體積、距離、質(zhì)量等的視覺(jué)印象。與此同時(shí)，現(xiàn)實(shí)中活脫脫的人成為宗教題材的主題，按照實(shí)際構(gòu)圖的畫(huà)面富有生機(jī)。終于在13世紀(jì)，近代繪畫(huà)之父喬托在意大利誕生。“從此以后，藝術(shù)史就成了藝術(shù)家的歷史。”

　　丟勒的“幻方”

　　在達(dá)·芬奇之后，意大利的其他畫(huà)家和建筑師也對(duì)數(shù)學(xué)有著濃郁的興趣，在這些后輩藝術(shù)家中，將數(shù)學(xué)與藝術(shù)結(jié)合得最為出色的當(dāng)數(shù)前文已提及的德國(guó)畫(huà)家丟勒。

　　丟勒的故鄉(xiāng)紐倫堡在德國(guó)的巴伐利亞，他的父親是個(gè)成功的首飾匠，出生在匈牙利東南靠近羅馬尼亞邊境的久洛（Gyula）附近，28歲那年移居紐倫堡。丟勒的姓氏Ajtos原本對(duì)應(yīng)于德語(yǔ)里的Tur er，而按照紐倫堡人的發(fā)音習(xí)慣，才改為Durer。起初，家人也想把他培養(yǎng)成家族的繼承人，但他在作坊里學(xué)會(huì)了繪畫(huà)，并在13歲時(shí)照著鏡子逼真地畫(huà)出自己的肖像畫(huà)。

　　丟勒請(qǐng)求父親讓自己學(xué)作畫(huà)，結(jié)果父親答應(yīng)了，他的一個(gè)兄弟繼承了家業(yè)。父親送丟勒進(jìn)了當(dāng)?shù)匾患耶?huà)室，三年學(xué)徒期間，他學(xué)到了各種繪畫(huà)技巧，尤其是木刻插圖和銅板技巧，之前他的同胞谷登堡發(fā)明了活字印刷。出師以后，丟勒走出畫(huà)室，漫游了四年，沿著萊茵河到達(dá)法蘭克福、科隆和巴塞爾，并遠(yuǎn)至尼德蘭（荷蘭）。23歲那年，他與故鄉(xiāng)的一位音樂(lè)家的女兒阿格列薩結(jié)了婚，那年他曾為新娘畫(huà)過(guò)一幅素描。

　　丟勒第一件偉大的作品是《啟示錄》，這是由14幅版畫(huà)組成的杰作?！秵⑹句洝肥恰妒ソ?jīng)》里最后一篇充滿(mǎn)恐怖奇想的經(jīng)文，告誡信徒若不篤信基督，將會(huì)遭受懲罰。其中最有代表性的一幅是《四騎士》，騎士們或拉弓射箭或舉劍揮砍，舉起的空天平象征饑餓，而枯瘦的老人代表死亡，胯下的戰(zhàn)馬正無(wú)情地踐踏倒下的人群。這是當(dāng)時(shí)德國(guó)真實(shí)生活的反映，正是在這種歷史氣候下，16世紀(jì)初馬丁·路德開(kāi)始了宗教改革。

　　之后又有12年時(shí)間，丟勒攜家僑居國(guó)外，期間兩次在意大利長(zhǎng)住。從意大利畫(huà)家那里，他學(xué)到了透視法并進(jìn)行了一番研究，畫(huà)出了多幅木刻來(lái)說(shuō)明如何利用截景繪畫(huà)。除了上一節(jié)介紹的《為躺著的婦人作畫(huà)》，還有《為坐著的男子作畫(huà)》，以及《畫(huà)罐》《畫(huà)琵琶》等。后來(lái)，他把意大利人的發(fā)明帶回到德國(guó)，使之流行于歐洲的北方。

　　為此，丟勒寫(xiě)作了一本廣為流傳的小冊(cè)子《直尺圓規(guī)測(cè)量法》。這本書(shū)是關(guān)于幾何學(xué)的，但也談到了透視法。他認(rèn)為，創(chuàng)作一幅畫(huà)的透視基礎(chǔ)不是信手涂畫(huà)，而應(yīng)該依據(jù)數(shù)學(xué)原理構(gòu)圖。在丟勒的影響下，18世紀(jì)初的英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（以發(fā)明泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)聞名）、法國(guó)數(shù)學(xué)家蘭伯特（證明圓周率是無(wú)理數(shù)）都撰寫(xiě)過(guò)透視學(xué)的權(quán)威著作。

　　1505年，丟勒再次來(lái)到意大利，這次他不僅為了學(xué)習(xí)取經(jīng)，也為了他的作品被人抄襲討個(gè)公道。74歲高齡的威尼斯畫(huà)派領(lǐng)袖貝里尼（提香的老師）接見(jiàn)了他，詢(xún)問(wèn)比自己年輕40歲的德國(guó)才俊能否給一支他用過(guò)的畫(huà)筆。在那個(gè)年代藝術(shù)家還帶有手工特技和師徒傳藝的風(fēng)俗，畫(huà)家自制的繪畫(huà)工具和材料常常帶有保密的性質(zhì)，就像達(dá)·芬奇用左手反寫(xiě)“反字”的筆記本一樣。

　　原來(lái)，貝里尼（Giovanni Beli ni，1430—1516）見(jiàn)到丟勒畫(huà)的人物須發(fā)特別纖細(xì)流暢，故而認(rèn)為他一定有特殊的畫(huà)筆。沒(méi)想到丟勒拿出一大把很普通的畫(huà)筆，讓老畫(huà)家隨意挑，并當(dāng)場(chǎng)畫(huà)出“一縷柔軟纖細(xì)波浪式的女性秀發(fā)”。事實(shí)上，丟勒本人的自畫(huà)像里也有卷曲優(yōu)雅的頭發(fā)。目睹此情此景，貝里尼大為贊嘆，出高價(jià)購(gòu)買(mǎi)丟勒的畫(huà)作，這等于幫丟勒做了很大的宣傳廣告。

　　丟勒可能是文藝復(fù)興時(shí)期所有藝術(shù)家中數(shù)學(xué)造詣最深的人。在《直尺圓規(guī)測(cè)量法》一書(shū)中，他談到了空間曲線及其在平面上的投影，還介紹了外擺線，即一個(gè)圓滾動(dòng)時(shí)圓周上一點(diǎn)的軌跡。更有甚者，丟勒考慮到了曲線或人影在兩個(gè)或三個(gè)相互垂直的平面上的正交投影，這個(gè)想法極其前衛(wèi)，直到18世紀(jì)才由法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)展出一門(mén)數(shù)學(xué)分支，叫畫(huà)法幾何，蒙日并以此在數(shù)學(xué)史上奠定地位。

　　1514年5月17日，丟勒深?lèi)?ài)的母親病故，他陷入一種悲哀。當(dāng)年晚些時(shí)候，丟勒創(chuàng)作了銅版畫(huà)《憂(yōu)郁》寄托哀思，畫(huà)面前方有個(gè)左手扶額作沉思狀的坐著的青年女子，背景里有球、多面體等幾何圖形和一束光芒，右邊房屋的窗子實(shí)為一個(gè)四階幻方，即各行、各列和兩條對(duì)角線元素之和均為34。

　　事實(shí)上，此幻方九個(gè)二階小矩形中，有五個(gè)（四個(gè)角和中央）的元素之和也為34；還有四個(gè)頂點(diǎn)和任意三階矩形或任意斜矩形的頂點(diǎn)之和也為34?；梅降某霈F(xiàn)無(wú)疑加重了畫(huà)面的抑郁氣氛和神秘感，也幫助它成為一幅世界名畫(huà)。更有意思的是，幻方的最后一行中間兩個(gè)數(shù)恰好組成了畫(huà)作的完成年份，即1514（還有研究者發(fā)現(xiàn)5和17在其中的隱秘關(guān)系）。由此可見(jiàn)，丟勒對(duì)如何構(gòu)筑幻方已經(jīng)游刃有余。

　　雖說(shuō)在中國(guó)，13世紀(jì)的南宋數(shù)學(xué)家楊輝的幻方更早出現(xiàn)，印度克久拉霍（Khajrāho，10—11世紀(jì)月亮王朝的故都）耆那教寺廟墻上的幻方更為完美，但因?yàn)閬G勒同時(shí)也是著名的畫(huà)家，所以他的幻方最為著名。丟勒以其觀察的精微和構(gòu)思的復(fù)雜，將其豐富的思維與熱烈的理想結(jié)合在一起，產(chǎn)生了一種獨(dú)特的效果。晚年的丟勒致力于藝術(shù)理論和科學(xué)著作的寫(xiě)作，包括繪畫(huà)技巧、人體比例和建筑工程，并且他親自為這些書(shū)制作插圖。

　　丟勒在書(shū)中寫(xiě)道：“出自一切作品的東西，要數(shù)漂亮的人體最能使我們感到愉快，所以我就從人體比例寫(xiě)起。”他還曾經(jīng)這樣說(shuō)過(guò)：“求知，以及通過(guò)求知去理解一切事物的本質(zhì)，這是一種天賦……而真正的藝術(shù)，是包含在自然之中的，誰(shuí)能發(fā)掘它，誰(shuí)就掌握它。”

　?。ū疚恼浴稊?shù)學(xué)與藝術(shù)》，蔡天新著，江蘇人民出版社 江蘇鳳凰美術(shù)出版社2021年6月第一版，定價(jià)：58.00元）